Beequation
Lær › Emner › Algebra og likninger
Emneveiledning
Algebra og likninger
Algebra er matematikk med ukjente tall. På barneskolen begynner det som en tom rute som skal fylles ut, 7 + □ = 10, og etter hvert, ofte på mellomtrinnet, blir ruten en bokstav: x + 3 = 10. En likning er nettopp det: et regnestykke med et likhetstegn og et ukjent tall som skal finnes. Algebra handler også om å oppdage regler og mønstre og om å lage regneuttrykk som passer til en situasjon. I den norske læreplanen hører i tillegg algoritmer og programmering med: trinnvise instruksjoner med variabler, løkker og vilkår.
Algebra er ett av kunnskapsområdene i læreplanen, sammen med tall og tallforståelse, funksjoner, geometri, statistikk og sannsynlighet. Ordet likning dukker først opp i kompetansemålene etter 5. trinn, men tankegangen starter allerede på 1. og 2. trinn, med likhetstegnet og mønstre. Forhold og målestokk er ikke egne mål på barneskolen, men barna møter dem i hverdagen: dobbelt så mye saft, en oppskrift til flere personer, et turkart.
Hva barna lærer, trinn for trinn
Læreplanen i matematikk setter mål etter hvert trinn fra 2. trinn, og målene etter 2. trinn gjelder 1. og 2. trinn sammen. Det som står som «vanligvis», er det mange skoler og lærebøker gjør, og det varierer litt fra skole til skole.
| Trinn | Hva barna lærer |
|---|---|
| Siste år i barnehagen | I lek møter barna mønstre: perler på en snor (rød, blå, rød, blå), rim og sanger som gjentar seg. De sorterer ting og gjetter hva som kommer etterpå. Ingen regnestykker. |
| 1. trinn | Vanligvis: fortsette og lage mønstre med farger, former og tall, og finne tallet som mangler i tiervennene: 7 + □ = 10. Målene etter 2. trinn gjelder også her, blant annet å lage og følge regler i lek og spill. |
| 2. trinn | Læreplanen: kjenne igjen og beskrive det som gjentar seg i et mønster, og lage egne mønstre. Bruke likhetstegnet «som et relasjonelt symbol som viser at to uttrykk har samme verdi» (3 + 4 = 2 + 5). Telle med ulike steg og forklare mønstre i tellingen. Lage og følge regler og trinnvise instruksjoner i lek og spill. |
| 3. trinn | Læreplanen: sammenligne med likhets- og ulikhetstegn (=, < og >) og utforske likevekt med tall, tegning og konkreter. Sammenhengen mellom pluss og minus hjelper barna å finne ukjente tall: □ + 6 = 15. Barna bruker også at et gangestykke kan deles opp: 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4. Regler og trinnvise instruksjoner i koordinatsystemet. |
| 4. trinn | Læreplanen: lage regneuttrykk til praktiske situasjoner, og finne situasjoner som passer til et regneuttrykk. Utforske strukturer og mønstre i lek og spill, for eksempel figurtall. Lage algoritmer med variabler, vilkår og løkker. |
| 5. trinn | Læreplanen: løse likninger med tall, tekst, tegning og konkreter, og teste og forklare løsningene, ofte med en vekt som bilde (se under). Lage og programmere algoritmer med variabler, vilkår og løkker. |
| 6. trinn | Læreplanen: bruke variabler, løkker, vilkår og funksjoner i programmering til å utforske figurer og mønstre, og utforske symmetri i mønstre. Arbeidet med areal og omkrets gir ofte de første formlene, som areal = lengde · bredde. Noen lærebøker begynner å skrive det ukjente tallet som en bokstav. |
| 7. trinn | Læreplanen: løse likninger med ulike strategier og vurdere om løsningene er gyldige, lage og løse problemer med likninger, løse ulikheter, og bruke regnerekkefølge i sammensatte regneuttrykk. Vanligvis også målestokk på kart. |
De store ideene
1. Likhetstegnet betyr «har samme verdi»
Mange barn leser = som «og svaret er». Det fungerer for 3 + 5 = 8, men ikke for 8 = 3 + 5 eller 6 + □ = 4 + 5. Derfor er læreplanen allerede på de første trinnene opptatt av at likhetstegnet viser at to sider har samme verdi. Tenk på en vekt: begge sider må veie like mye. 4 + 5 er 9, så 6 + □ må også bli 9, og tallet som mangler, er 3. På 3. trinn kommer ulikhetstegnene: 3 + 5 > 7 leses «tre pluss fem er større enn sju», og 2 + 2 < 5 leses «to pluss to er mindre enn fem».
Les likhetstegnet høyt som «er like mye som», og skriv av og til regnestykkene «baklengs»: 10 = 4 + □. Barn som alltid ser svaret til høyre, blir ofte stående fast første gang det flytter seg, og vanen kan være vanskelig å bli kvitt senere.
2. Likevekt: slik løser barna likninger
På 5. trinn løser barna likninger med konkreter, og en vekt er et mye brukt bilde. En vekt er i likevekt når det veier like mye på begge sider, og gjør du det samme på begge sider, holder den seg i likevekt. På tegningen ligger det to poser med like mange kuler i hver og 3 løse kuler på venstre side, og 11 kuler på høyre side. Hvor mange kuler er det i hver pose?
Når barnet har funnet et svar, lærer det å sette prøve: legge svaret inn igjen og se om det stemmer. 4 + 4 + 3 = 11, så det stemmer. Å ta bort det samme på begge sider er det samme som å bruke den omvendte regneoperasjonen. Pluss og minus opphever hverandre, og det gjør gange og dele også. For □ − 9 = 7 spør du: «Hvilket tall blir 7 når jeg tar bort 9?» Legg 9 til igjen: 7 + 9 = 16. For □ · 4 = 32 deler du: 32 : 4 = 8. Sett prøve: 16 − 9 = 7 og 8 · 4 = 32.
3. Mønstre og tallfølger følger en regel
En tallfølge er en rekke tall som følger en regel, og et mønster kan like gjerne bestå av farger eller figurer. De yngste fortsetter mønstre og teller med steg på 2, 5 og 10. Etter hvert finner barna regelen selv, forklarer den med ord og sier hva som kommer lenger ut i følgen. Noen følger vokser på andre måter. Figurtall er tall du kan legge som figurer: kvadrattallene 1, 4, 9, 16 og 25 er antall prikker i kvadrater med 1, 2, 3, 4 og 5 prikker langs hver side.
På mellomtrinnet kan barna også lete etter en regel som går rett til et hvilket som helst tall i følgen. I 3, 7, 11, 15, 19 er hvert tall 4 ganger plassnummeret minus 1 (det første er 4 · 1 − 1 = 3, det andre 4 · 2 − 1 = 7). Tall nummer 10 er derfor 4 · 10 − 1 = 39.
4. En bokstav står for et tall
Etter hvert blir den tomme ruten en bokstav, oftest x. x + 5 = 12 betyr «et tall pluss 5 er 12», så x = 7. Når et tall står rett foran en bokstav, betyr det gange: 3x er det samme som 3 · x. Er 3x = 18, er x = 6. Noen likninger har flere løsninger. I a + b = 10 kan a og b være 1 og 9, 2 og 8, 3 og 7 og så videre: tiervennene fra 1. trinn i ny drakt.
På 7. trinn kommer også ulikheter, der svaret ikke er ett tall, men mange. x + 3 < 10 betyr at x pluss 3 skal bli mindre enn 10. 6 passer, og 6,5 passer også, men 7 passer ikke, fordi 7 + 3 = 10, og 10 er ikke mindre enn 10. Løsningen er alle tall som er mindre enn 7: x < 7.
5. Regneuttrykk og regnerekkefølge
Et regneuttrykk er et regnestykke uten likhetstegn. På 4. trinn lager barna regneuttrykk til situasjoner fra hverdagen. Kjøper Nora 3 boller til 25 kr stykket og en juice til 15 kr, blir det 3 · 25 + 15 = 75 + 15 = 90 kr. Barna går også motsatt vei og finner en situasjon som passer til et regneuttrykk. 5 · 20 − 30 kan for eksempel bety: «Du har fem tjuekroninger og kjøper en is til 30 kr. Hvor mye har du igjen?» Svaret er 100 − 30 = 70 kr.
Når et regneuttrykk har flere regnearter, må alle regne i samme rekkefølge. Det kalles regnerekkefølge og står i målene etter 7. trinn: først det som står i parentes, så gange og dele, og til slutt pluss og minus. Derfor er 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14, mens (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20.
Parenteser er nyttige i formler, regler for å regne ut noe, skrevet med ord eller bokstaver. Omkretsen av et rektangel er 2 · (lengde + bredde). Et rektangel som er 7 cm langt og 4 cm bredt, har omkretsen 2 · (7 + 4) = 2 · 11 = 22 cm. Arealet er lengde · bredde = 7 · 4 = 28 cm².
6. Algoritmer: trinnvise instruksjoner
En algoritme er en oppskrift med trinn i riktig rekkefølge. Allerede etter 2. trinn skal barna kunne lage og følge regler og trinnvise instruksjoner i lek og spill. Fra 4. trinn lager de algoritmer med variabler, løkker og vilkår, ofte med blokkprogrammering på skjerm, men det kan like godt gjøres uten skjerm, på et rutenett på gulvet. En løkke gjentar noe: «Gjenta 4 ganger: gå 3 skritt fram og snu en kvart runde til høyre» går rundt et kvadrat. Et vilkår bestemmer hva som skal skje: «Hvis du kommer til veggen, snu.» En variabel er et navn på et tall som kan endre seg, som «poeng» i et spill: tallet øker med 1 hver gang du treffer. Det er den samme ideen som en bokstav i algebra.
7. Dobbelt så mye: oppskrifter, saft og målestokk
Skal en oppskrift eller en tegning bli større eller mindre, men ellers være lik, må alt ganges (eller deles) med det samme tallet. Her er vafler til 4 personer gjort om til 6. Går du veien om 2 personer (del på 2, gang så med 3), blir tallene greie å regne med:
| Ingrediens | Til 4 personer | Til 2 personer (: 2) | Til 6 personer (· 3) |
|---|---|---|---|
| Hvetemel | 4 dl | 2 dl | 6 dl |
| Melk | 4 dl | 2 dl | 6 dl |
| Egg | 2 | 1 | 3 |
| Smeltet smør | 60 g | 30 g | 90 g |
Saft fungerer på samme måte. Står det «1 del saft til 4 deler vann», er det 5 deler til sammen. I en mugge på 1 liter, altså 10 dl, blir hver del 2 dl: 2 dl saft og 8 dl vann. Saften er da ⅕ av blandingen, ikke ¼, fordi 1 av de 5 delene er saft.
På kart heter dette målestokk, og det kommer ofte på 7. trinn. Mange turkart har målestokk 1 : 50 000. Det betyr at 1 cm på kartet er 50 000 cm i virkeligheten, altså 500 m. Er det 6 cm på kartet fram til hytta, er det 3 km å gå.
Vanlige feil å se etter
- Å lese = som «svaret er»: i 4 + 5 = □ + 2 skriver barnet 9 i ruten i stedet for 7.
- Feil omvendt regneoperasjon: for □ − 9 = 7 regner barnet 9 − 7 = 2 i stedet for 7 + 9 = 16. Å sette prøve avslører det: 2 − 9 blir ikke 7.
- Å lese 3x som «3 pluss x», eller tro at en bokstav står for en ting («e for epler») og ikke for et tall.
- Å regne fra venstre mot høyre uansett: 2 + 3 · 4 blir 20 i stedet for 14, fordi barnet glemmer at gange kommer før pluss.
- Å legge til i stedet for å gange: barnet gjør om vaffeloppskriften fra 4 til 6 personer ved å legge til 2 av alt.
- Å blande del og helhet: med 1 del saft til 4 deler vann er saften ⅕ av blandingen, ikke ¼.
- Å finne regelen i en tallfølge ut fra de to første tallene: sjekk alltid at regelen passer hele veien.
Spill på fem minutter hjemme
- Under koppen. Legg 10 rosiner eller klinkekuler på bordet, gjem noen under en kopp, og spør hvor mange som er gjemt. «Jeg ser 6, så det er 4 under koppen.»
- Jeg tenker på et tall. «Jeg tenker på et tall, legger til 5 og får 12. Hvilket tall tenkte jeg på?» Bytt roller, og la barnet ditt lage nøtter til deg.
- Tallmaskinen. Barnet sier et tall. Du dobler det i hemmelighet, legger til 1 og sier svaret: 3 blir 7, og 5 blir 11. Hvem finner regelen først?
- Robotleken. Barnet programmerer, og du er roboten. Det skal styre deg fra døra til sofaen med kommandoer som «gå 3 skritt fram» og «snu mot høyre». Krasjer roboten, må programmet rettes.
- Mønsterkjeder. Lag en kjede av perler eller makaroni i et mønster som gjentar seg, og så i et mønster som vokser (1 rød, 2 blå, 3 røde …). Hva kommer nå? Hvor mange perler trengs i neste gruppe?
- Saftmuggen. Bland saft: 1 del saft til 4 deler vann. Hvor mye saft trengs i en mugge på 1 liter? (5 deler til sammen, så 2 dl saft og 8 dl vann.) Baker du sammen med barnet, kan det doble eller halvere oppskriften.
Indies utfordringIndie bygger en rad med bikakeceller av ispinner. Celler som ligger ved siden av hverandre, deler en side. 1 celle trenger 6 pinner, 2 celler trenger 11, og 3 celler trenger 16. Hvor mange pinner trenger en rad med 10 celler? Vis svaret
Den første cellen trenger 6 pinner. Hver ny celle deler en side med cellen foran, så den trenger 5 pinner til. 10 celler trenger da 6 + 9 · 5 = 6 + 45 = 51 pinner. Som formel: pinner = 5 · celler + 1, og 5 · 10 + 1 = 51. Legg merke til at 2 celler ikke trenger dobbelt så mange pinner som 1 celle (det ville vært 12), men 11.
Gratis oppgaveark i algebra og likninger
Skriv dem ut og øv hjemme eller i klassen. Hvert ark har fasit på side to.
Finn tallet som mangler4. trinn, 5. trinn, 6. trinn, 7. trinn · Hvilket tall står i ruta?Last ned PDFRaske svar
Likninger står første gang i målene etter 5. trinn (10 til 11 år), der barna løser dem med tall, tegning og konkreter. Men tankegangen starter på 1. og 2. trinn, med likhetstegnet, mønstre og ruter som skal fylles ut, som 7 + □ = 10. Bokstaver for ukjente tall kommer ofte på mellomtrinnet, og på ungdomstrinnet blir algebra med bokstaver en stor del av faget.
Et regneuttrykk er et regnestykke uten likhetstegn, som 3 · 25 + 15. En likning har et likhetstegn og et ukjent tall: x + 5 = 12. Å løse likningen er å finne tallet som gjør begge sider like store, her x = 7. Til slutt setter barnet prøve: 7 + 5 = 12.
Fordi algoritmer og algebra bygger på de samme ideene: en regel som skrives én gang og brukes mange ganger, og variabler som står for tall som kan endre seg. Læreplanen har med regler og trinnvise instruksjoner fra de første årene og algoritmer med variabler, vilkår og løkker fra 4. trinn. Mye av det kan gjøres uten skjerm.
Øv med Indie
Beequation Kids gjør tallfakta om til bikakeoppgaver, og bien Indie gir et tips når barnet står fast. Ingen reklame og ingen innsamling av data.