Lær › Lærere › Resonnering og problemløsing

For lærere

Resonnering og problemløsing

Læreplanen i matematikk har seks kjerneelementer, og to av dem handler om det denne veiledningen tar for seg: utforsking og problemløsing og resonnering og argumentasjon. Under det første står det at elevene skal «legge mer vekt på strategiene og framgangsmåtene enn på løsningene». Om det andre står det at «Resonnering i matematikk handler om å kunne følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker» (MAT01-06, kjerneelementer). Å resonnere er å forklare, begrunne og oppdage mønstre, og nøkkelspørsmålet er «Hvordan vet du det?» Å løse problemer er å bruke det du kan, i en situasjon du ikke har møtt før, gjerne ved å dele problemet opp i mindre deler.

Resonnering trenger ingen egen time. Den vokser fram av spørsmålene du stiller hver dag, og av at elevene vet at de alltid kan bli bedt om å forklare. Ideene under passer i alle emner og på alle trinn.

Spørsmål som får elevene til å resonnere

Ha noen av disse på et kort i lomma eller på veggen i klasserommet, og bruk dem til de blir en vane:

• Hva legger du merke til? Hva lurer du på?
• Hva er likt, og hva er forskjellig?
• Hvordan vet du det? Kan du vise det?
• Kan du løse den på en annen måte? Hvilken måte går raskest?
• Hva ville skjedd hvis …?
• Gi meg et eksempel. Og nå ett som ingen andre kommer på.
• Stemmer det alltid, noen ganger eller aldri?
• Finn feilen. Er svaret rimelig?

Overbevis meg

Gi elevene noe de allerede vet, og be dem overbevise deg (eller en læringspartner som får rollen som tviler) om at det stemmer. «Fordi jeg vet det» holder ikke: de må gi grunner.

• 1.–2. trinn: Overbevis meg om at 7 + 8 = 15. Dobbelt av 7 er 14, og 8 er én mer enn 7, så svaret er én mer enn 14. Eller med tierovergang: 7 + 3 = 10, og 5 til gir 15.
• 4. trinn: Overbevis meg om at 6 · 7 = 42. 5 · 7 = 35, og én sjuer til gir 42.
• 5. trinn: Overbevis meg om at ⅗ er større enn ½. Halvparten av 5 femdeler er 2½ femdeler, og 3 femdeler er mer enn det.

En tegning, centikuber eller en tallinje teller også som bevis. Noen av de beste forklaringene er tegninger.

Sant eller usant?

Skriv en påstand på tavla. Elevene bestemmer seg og forklarer hvorfor. Bland sanne og usanne påstander, så de ikke kan gjette seg til mønsteret.

Finn feilen

Vis en ferdig løsning med en feil i, og be elevene finne feilen, forklare den og rette den. Det føles tryggere enn å rette sine egne feil, og du kan ta tak i misoppfatningene du vet kommer.

• 2.–3. trinn: 52 − 27 = 35. På enerplassen har eleven regnet 7 − 2 i stedet for 12 − 7. Veksler vi én tier, blir det 12 − 7 = 5 enere og 4 − 2 = 2 tiere: 25. Sjekk: 25 + 27 = 52.
• 4. trinn: 450 avrundet til nærmeste hundre er 400. 450 ligger midt mellom 400 og 500, og da runder vi opp: 500.
• 5. trinn: 824 : 4 = 26. 8 delt på 4 er 2. Så flytter vi ned 2-tallet: 2 delt på 4 går ikke, og da skal svaret ha 0 på tierplassen. Det nullet har eleven glemt. Flytt ned 4-tallet: 24 delt på 4 er 6, og riktig svar er 206. Setter eleven prøve på svaret, blir feilen avslørt: 4 · 26 = 104, mens 4 · 206 = 824.
• 5. trinn: ¼ + ¼ = ²⁄₈. En firedel og en firedel er to firedeler, ²⁄₄. Nevneren legges ikke sammen: den forteller hvor store delene er.
• 6. trinn: 0,4 · 3 = 0,12. 4 tideler · 3 = 12 tideler, og det er 1,2.

Åpne oppgaver

Oppgaver med flere riktige svar, eller med ett svar og mange veier dit, har lav inngangsterskel og høyt tak: alle kan begynne, og de som blir fort ferdige, har alltid noe å gå videre med.

• Alle trinn: Svaret er 12. Hva kan regnestykket være? På 1. trinn kanskje 10 + 2 eller 6 + 6. På 7. trinn kanskje 3 · 4, 48 : 4 eller 25 % av 48.
• 1.–2. trinn: På hvor mange måter kan du få 6 når du kaster to terninger? 1 + 5, 2 + 4 og 3 + 3, eller 5 måter hvis 5 + 1 og 4 + 2 teller som egne måter. Diskusjonen om hva som er riktig, er selve resonneringen.
• 3. trinn: Du betaler nøyaktig 35 kr i kiosken, og du bruker ingen andre mynter enn femmere og tiere. Hvilke mynter kan du ha brukt? 7 femmere, eller 1 tier og 5 femmere, eller 2 tiere og 3 femmere, eller 3 tiere og 1 femmer. Det må alltid være et oddetall femmere, fordi tierne alltid gir hele tiere, og 35 slutter på 5. Spør gjerne også hvilken løsning som gir færrest mynter (3 tiere og 1 femmer).
• 6. trinn: Et rektangel har omkrets 20 cm, og sidene er hele centimeter. Hvilket areal kan det ha? Lengden og bredden blir 10 cm til sammen, så arealet kan være 9, 16, 21, 24 eller 25 cm². Størst blir det for kvadratet med sider på 5 cm, og det åpner en ny god diskusjon: er et kvadrat et rektangel?

Modellering: fra hverdagen til matten og tilbake

Kjerneelementet modellering og anvendelser starter med denne setningen: «En modell i matematikk er en beskrivelse av virkeligheten i matematisk språk». I praksis betyr det at elevene oversetter en hverdagssituasjon til matematikk, regner, og så går tilbake til virkeligheten og spør om svaret gir mening. I kompetansemålene etter 4. trinn står det at elevene skal «estimere, gjøre overslag, forklare tenkemåter og vurdere kritisk egne og andres modeller og løsninger i arbeid med praktiske situasjoner».

Et eksempel fra 4. trinn: Klassen skal på tur. Det er 26 elever og 3 voksne, og hver minibuss har plass til 8 passasjerer. Hvor mange minibusser trenger klassen? Det er 29 personer, og 29 : 8 = 3 rest 5. Men svaret er ikke 3, og heller ikke «3 rest 5»: de 5 som er igjen, må også være med, så klassen trenger 4 minibusser. Slike oppgaver viser elevene at regnestykket er et verktøy, og at det er virkeligheten som bestemmer hva svaret betyr.

Tekstoppgaver: les, tegn, regn og svar

Mange lærere lar elevene jobbe med tekstoppgaver i en fast rekkefølge: Hva vet vi? Hva skal vi finne ut? Tegn og regn. Svar med en hel setning. Det tvinger elevene til å lese sakte og skille det de vet, fra det de blir spurt om, før de begynner å regne. Et eksempel fra 3. trinn:

Ella har 100 kr. Hun kjøper 3 kanelboller som koster 25 kr stykket. Hvor mye får hun igjen?

• Hva vet vi? Ella har 100 kr. Hun kjøper 3 boller. Hver bolle koster 25 kr.
• Hva skal vi finne ut? Hvor mye hun får igjen.
• Regn: 3 · 25 = 75 kr, eller 25 + 25 + 25 = 75 kr (det hun betaler), og 100 − 75 = 25 kr (det hun får igjen).
• Svar: Ella får 25 kr igjen.

Be alltid om svarsetningen: «Ella får 25 kr igjen», ikke «25» alene. Når de skriver den, må de gå tilbake til spørsmålet. Legg til et siste steg: sjekk. Det hun betaler og det hun får igjen, må til sammen bli det hun hadde: 75 + 25 = 100.

Vær forsiktig med nøkkelord. «Brukt» og «igjen» høres ut som minus, men «Etter å ha brukt 40 kr har Emil 15 kr igjen. Hvor mye hadde han?» løses med pluss: 40 + 15 = 55 kr. Det er bedre at elevene forteller oppgaven med egne ord og tegner den, enn at de leter etter enkeltord.

Strimmelmodellen

En strimmelmodell (kjent fra Singapore-matematikken) er en tegning av oppgaven med rektangler, eller strimler. Den hjelper elevene å se hva de vet og hva de skal finne, før de velger regneart. De yngste begynner gjerne med en del–helhet-modell: én lang strimmel for helheten, delt i to deler. «Det går 23 elever i 2B, og 14 av dem går på SFO. Hvor mange går ikke på SFO?» Helheten er 23, den ene delen er 14, så den andre delen er 23 − 14 = 9.

Strimmelmodellen fungerer også for brøk. På 5. eller 6. trinn: «Sofie brukte ⅖ av sparepengene sine på loppemarkedet og har 180 kr igjen. Hvor mye hadde hun før?» Tegn en strimmel i 5 like store deler og marker 2 som brukt. De 3 delene som er igjen, er 180 kr, så én del er 180 : 3 = 60 kr, og hele strimmelen er 5 · 60 = 300 kr. Sjekk: ⅖ av 300 kr er 120 kr, og 300 − 120 = 180 kr.

Setningsstartere for forklaringer

Mange elever vet svaret, men ikke hvordan de skal si hvorfor. Setningsstartere gir dem ordene. Bruk dem selv først, heng dem opp, og be om hele setninger i svarene:

• Jeg vet at …, så …
• Først …, så …, derfor blir svaret …
• Det kan ikke være …, fordi …
• Jeg er enig (eller uenig) med …, fordi …
• Dette stemmer alltid / noen ganger / aldri, fordi …
• Svaret mitt er rimelig, fordi det ligger nær overslaget mitt på …

Kombiner dem med «tenk–par–del»: elevene tenker først alene, og sier setningen til læringspartneren sin før noen svarer i plenum.

Raske svar

Lær mer